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東大院 工学系研究科 数学対策・解答

工学系研究科一般教育科目の数学の対策情報を提供します。

 

第6問 確率・統計 

大学入試レベルの確率の問題から、
分散・期待値などの統計に関する問題、
なぜかグラフ理論の問題などかなり幅広い出題で
難易度も年によってかなりばらつきが大きく対策しにくい分野です。
あまり対策に時間をかけるべきではないでしょう。

一応基礎知識があれば解けるようにできていますが、
多くの人があまり扱いに慣れていないことも出題されるので、
「この問題は簡単だ」と直感できるときのみ選択する価値があります。

必要な知識としては黄色い本のII

演習大学院入試問題〈数学〉II演習大学院入試問題〈数学〉II
(1997/06)
姫野 俊一、陳 啓浩 他

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に網羅されています。
必要に応じて覚えておくといいかもしれません。
(私はほとんど覚えてません)
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第5問 フーリエ・ラプラス変換 

フーリエ変換・ラプラス変換の定義式は毎年与えられるので、
覚える必要はないでしょう。

覚えておくことは、
・フーリエ級数展開の方法
・重ね合わせるタイプの偏微分方程式(フーリエ係数の利用)の解き方
・パーセバルの等式
・ラプラス変換の基本的な性質(変換表は残念ながら与えられません)
・それを利用した微分方程式の解き方
などです。

変換を実際に計算させて性質を証明させるといった誘導の問題もよく出ます。
難易度的には毎年そこまで振れ幅が大きくなく、
対策するに越したことはないでしょう。
ただ、完答するにはなかなかの体力と正確さが要求されます。

おすすめの参考書は
フーリエ解析と偏微分方程式 (技術者のための高等数学)フーリエ解析と偏微分方程式 (技術者のための高等数学)
(2003/11)
E. クライツィグ

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第4問 微分積分・ベクトル解析 

この分野は正直大学に入ってからの学習はあまり影響しないと思います。

パラメータ表示された曲線を微分を駆使して描いたり、
囲まれた部分の面積、回転体の表面積を求めたりします。
最近は三次元化してきて地雷臭が増しつつあります。

パラメータが出てくる積分の扱い方や、
表面積の計算方法など最低限の計算式は知っておくべきです。

分野の性格上分量が多くなりがちなので、選択は慎重に行わないと悲しいことになります。

この分野を当てにしてる人は少ないと思われます。
過去問を解く以外はあまり対策の必要は感じられません。
簡単な年は簡単なのでそこが狙い目です。

対策したい人は黄色い本の例題でも解くといいと思います。

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第3問 複素関数 

普通は大学3年生くらいで習う分野でしょうか。
留数定理やらコーシーの積分定理などがキーワードです。

求められることは
・極,位数を求め,留数を計算できるか
・ローラン級数展開できるか(8年中1年のみ)
・留数定理を使えるか
・その計算途中でしばしば出てくる極限の評価ができるか(ジョルダンの補助定理等)
・実関数の定積分へ応用できるか
などがメインです。
複素関数をしっかり学んでいるかどうかで大きな差が出ます。

また3年に1度くらいの割合で
・一次変換,等角写像,鏡像
が出題されますが、難しいことが多いです。

写像が出てきたら「危険だな」と思っておいた方がいいかもしれません。

ジョルダンの補助定理については「十中八九」使って問題ないと思います。
いままで問題で指示されたことはありませんが、
大学入試で高校生がロピタルの定理を使うことよりは遥かに危険度は少ないと思います。
証明もそんなに難しくないですし。
もちろん、さすがに院試ではロピタルの定理はじゃんじゃん使っていいです。
留数の計算でも使うと便利なことが多いですし。

一応、「留数定理より」「コーシーの積分定理より」「ジョルダンの補助定理より」
などの言葉は忘れないようにしましょう。

参考書のおすすめは、

複素関数論 (技術者のための高等数学)複素関数論 (技術者のための高等数学)
(2003/03)
E. クライツィグ

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このシリーズシンプルで好きです。

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第2問 線形代数(行列) 

線形代数といってもベクトル空間とかrankとか全単射とか
多くの人が嫌な顔をするような問題は出ません。

・固有値・固有ベクトル・対角化(ジョルダン標準形)・二次形式の標準化
・行列式がらみの証明

などがほとんどです。要するに何が求められるかというと、

・固有値,固有ベクトルを求められるか。
・対角化できるか、ジョルダン標準形にできるか。
・行列式の基本変形ができるか。

などの作業ができるかどうかです。
微分方程式に応用する問題も出ますが、
ほとんど微分方程式はおまけで上の操作ができれば誘導で解けるようにできています。

知っておいた方がいい関係式もかなり少ないので、
どのくらいの知識が要求されるかは自分で過去問を解いて感じ取るのがよいでしょう。

知っておくと便利なのは、
たとえば
・固有値の和はトレース(対角和)に等しい → 固有値の簡単な検算
・固有ベクトルが正規直交系にできれば直交行列になる → 逆行列は転置をとればいい
みたいな感じです。

参考書としては、

フーリエ解析と偏微分方程式 (技術者のための高等数学)フーリエ解析と偏微分方程式 (技術者のための高等数学)
(2003/11)
E. クライツィグ

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などがおすすめですが、まぁなくてもネット調べればなんとかなります。



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