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東大院 工学系研究科 数学対策・解答

工学系研究科一般教育科目の数学の対策情報を提供します。

 

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第3問 複素関数 

普通は大学3年生くらいで習う分野でしょうか。
留数定理やらコーシーの積分定理などがキーワードです。

求められることは
・極,位数を求め,留数を計算できるか
・ローラン級数展開できるか(8年中1年のみ)
・留数定理を使えるか
・その計算途中でしばしば出てくる極限の評価ができるか(ジョルダンの補助定理等)
・実関数の定積分へ応用できるか
などがメインです。
複素関数をしっかり学んでいるかどうかで大きな差が出ます。

また3年に1度くらいの割合で
・一次変換,等角写像,鏡像
が出題されますが、難しいことが多いです。

写像が出てきたら「危険だな」と思っておいた方がいいかもしれません。

ジョルダンの補助定理については「十中八九」使って問題ないと思います。
いままで問題で指示されたことはありませんが、
大学入試で高校生がロピタルの定理を使うことよりは遥かに危険度は少ないと思います。
証明もそんなに難しくないですし。
もちろん、さすがに院試ではロピタルの定理はじゃんじゃん使っていいです。
留数の計算でも使うと便利なことが多いですし。

一応、「留数定理より」「コーシーの積分定理より」「ジョルダンの補助定理より」
などの言葉は忘れないようにしましょう。

参考書のおすすめは、

複素関数論 (技術者のための高等数学)複素関数論 (技術者のための高等数学)
(2003/03)
E. クライツィグ

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